MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS.

  MECÃNICA GRACELI GERAL - QTDRC.

equação Graceli dimensional relativista  tensorial quântica de campos  G* =  = [  /  IFF ]   G* =   /  G  /     .=   /  G  = [DR] =            .= +   +  G* =  = [          ] ω  , ,  / T] / c [    [x,t] ]  =

//////

[  /  IFF ]  = INTERAÇÕES DE FORÇAS FUNDAMENTAIS. =

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

G* =  OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI,  E OUTROS.

/

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

 MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVISTA DE CAMPOS. EM ;

A formulação de Feynman da mecânica quântica ou formulação de integrais de caminho da mecânica quântica é uma descrição da teoria quântica que generaliza a ação da mecânica clássica. Ela substitui a noção clássica de uma única trajetória para um sistema por uma soma, ou integral funcional, por meio de uma infinidade de trajetórias possíveis para calcular a amplitude quântica.

A ideia básica da formulação de integral de caminho é originária de Norbert Wiener, que apresentou o processo de Wiener para a solucionar problemas de difusão e movimento Browniano.^[1] Esta ideia foi estendida para o uso do Lagrangiana na mecânica quântica por P. A. M. Dirac em seu artigo de 1933^[2] . O método completo foi desenvolvido em 1948 por Richard Feynman. Algumas preliminares foram trabalhados anteriormente, no curso de sua tese de doutorado no trabalho de John Archibald Wheeler. A motivação original surgiu da aspiração  de obter uma formulação da mecânica quântica para a teoria de teoria de ação à distância de Wheeler e Feynman usando uma Lagrangeana (ao invés de um Hamiltoniano) como ponto de partida.

Esta formulação tem se provado fundamental para o desenvolvimento posterior da física teórica, por ser manifestamente simétrica entre o tempo e o espaço. Ao contrário dos métodos anteriores, a formulação de integral de caminho-integral permite facilmente a mudança de coordenadas entre descrições canônicas diferentes do mesmo sistema quântico.

A formulação de integral de caminho também relaciona processos quânticos e estocásticos, fornecendo a base para a grande síntese, na década de 1970 que unificou a teoria quântica de campos com a teoria de campos estatísticos de campo flutuante perto de uma transição de fase de segunda ordem. A equação de Schrödinger é uma equação de difusão com uma constante de difusão imaginária, sendo a integral de caminho uma continuação analítica do método para a soma de todos as possíveis caminhadas aleatórias. Por esta razão integrais de caminho foram utilizados no estudo de difusão e movimento Browniano pouco antes de serem introduzidos na mecânica quântica.^[3]

Estes são apenas três dos caminhos que contribuem para amplitude quântica de uma partícula movendo-se do ponto A em tempo t₀ para o ponto B em  t₁.

 Princípio da ação quântica[editar | editar código-fonte]

Na mecânica quântica, assim como na mecânica clássica, o Hamiltoniano é o gerador de translações temporais. Isto significa que o estado em um tempo posterior difere do estado atual pela atuação do operador Hamiltoniano (multiplicado pelo negativo unidade imaginária, −i). Para os estados com uma determinada energia, esta é uma instrução de relação de De Broglie entre a frequência e a energia, e a relação geral é consistente com o que e o princípio da superposição.

No entanto, na mecânica clássica o Hamiltoniano é derivado a partir de um Lagrangeana,  que é uma quantidade mais fundamental em relação à relatividade especial. O Hamiltoniano indica como o movimento se desenvolve no tempo, mas o tempo é diferente em diferentes sistemas de referência. Assim, o Hamiltoniano é diferente em referenciais diferentes e este tipo de simetria não é aparente na formulação original da mecânica quântica.

O hamiltoniano é uma função da posição e momento no tempo t, determinando a posição e o momento no tempo (t+ε). A Lagrangiana é uma função das posição em t e (t+ε) (para um intervalo de tempo infinitesimal, a velocidade é medida é a velocidade instantânea, tornando a Lagrangeana como função da posição e da velocidade). A relação entre os dois é por uma transformação de Legendre e a condição que determina as equações de movimento (ou equações de Euler–Lagrange) é a extremização da ação.

Na mecânica quântica, uma transformação de Legendre é difícil de interpretar uma vez que o movimento não é dado por uma trajetória definida. Na mecânica clássica, a discretização temporal da transformação de Legendre torna-se:

${\displaystyle ��=�(�)(�(�+�)-�(�))-��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e

${\displaystyle �=\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }\dot{�}}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde a derivada parcial com relação a mantém q(t + ε) constante. A inversa da transformação de Legendre é:

${\displaystyle ��=��\dot{�}-��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde

${\displaystyle \dot{�}=\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

tomando q fixo.

Na mecânica quântica, um estado qualquer é uma superposição de estados independentes, com diferentes valores de q, ou diferentes valores de p, sendo que o momento e a posição  (p e q) podem ser interpretadas como operadores que não comutam. O operador p é definitivo em estados onde q são indeterminados. Considere dois estados separados no tempo. A atuação do operador correspondente à Lagrangiana:

${\displaystyle {�}^{�(�(�(�+�)-�(�))-��(�,�))}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Se a multiplicação implícita na fórmula são reinterpretados como multiplicação de matrizes, o primeiro fator é:

${\displaystyle {�}^{-���(�)}}$

Se esse também é interpretado como uma multiplicação de matrizes, a soma sobre todos os estados integra todos q(t), levando a transformada de Fourier em q(t), mudando a base para p(t). Isto é a ação sobre o espaço de Hilbert – mudar de base para p no tempo t.

Em seguida, tem-se:

${\displaystyle {�}^{-���(�,�)}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

que é uma  evolução infinitesimal para o futuro.

Finalmente, o último fator, nessa interpretação, é:

${\displaystyle {�}^{���(�+�)}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

que é uma mudança de base de volta para q no tempo (t+ε).

Isto não é diferente do operador de evolução temporal: o fator H contém toda informação da dinâmica, avançando o estado no tempo. A primeira e a última parte são as transformadas de Fourier para a mudança na base pura de q a partir de uma base intermediária p. 

De forma equivalente, pode-se dizer que: uma vez que o Hamiltoniano é naturalmente uma função de p e q, exponenciando estas quantidades  e realizando uma mudança de base de p para q em cada passo permite expressar o elemento da matriz de H como uma função simples ao longo de cada caminho. Esta função é o análogo quântico da ação clássica. Esta observação é feita por Paul Dirac.

Dirac observou ainda que se pudesse, o quadrado do tempo-a evolução do operador no S representação:

${\displaystyle {�}^{���}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e isso é o operador de evolução temporal entre o tempo t e o tempo t + 2ε. Enquanto que na representação H a quantidade que está sendo somada nos estados intermediários é um elemento de matriz obscuro, na representação S esta é reinterpretado como uma quantidade associada ao caminho. No limite que leva um grande poder de esse operador, reconstrói-se a evolução quântica completa entre dois estados sendo o estada mais antigo com valor fixo q(0) a o estado mais recente com valor q(t). O resultado é uma soma sobre os caminhos com uma fase que é a ação quântica. Crucialmente, Dirac identificada  neste papel, a profundidade da mecânica quântica razão do princípio da mínima ação de controlar o limite clássico.

Interpretação de Feynman[editar | editar código-fonte]

O trabalho de Dirac não fornece uma prescrição para calcular a soma sobre os caminhos e  não mostra como recuperar a equação de Schrödinger ou as relações de comutação canônica a partir desta regra. Isto foi feito por Feynman^[4] , que sugeriu que no limite clássico a trajetória clássica surge naturalmente. 

Feynman mostrou que a ação quântica de Dirac foi, para a maioria dos casos de interesse, simplesmente igual a ação clássico, devidamente discretizado. Isso significa que a ação clássica é a fase adquirida pela evolução quântica entre dois pontos fixos. Feynman propõe a recuperação de toda a mecânica quântica a partir dos seguintes postulados:

1. A probabilidade de um dado evento é dado pelo modulo quadrado de uma quantidade chamada de "amplitude de probabilidade".
2. A amplitude de probabilidade é dado somando a contribuição de todos os caminhos no espaço de configurações
3. A contribuição de um caminho em particular é proporcional à ${\displaystyle {�}^{��/\hslash }}$, onde S é a ação dado pela integral temporal da Lagrangeana ao longo do caminho. 

Para encontrar a amplitude de probabilidade global para um determinado processo, soma-se, ou integra-se, a amplitude do 3º postulado sobre o espaço de todos os possíveis caminhos de sistema entre o estado inicial e o estado final, inclusive aqueles que são absurdos para o caso clássico. No cálculo da amplitude de probabilidade para uma única partícula, indo de uma coordenada espaço-tempo de coordenadas para outro, é correto incluir caminhos em que a partícula descreve trajetórias elaboradas,(curlicues) curvas em que a partícula dispara para o espaço sideral e volta novamente, e assim por diante. A integral de caminho integral atribui a todas estas amplitudes um mesmo peso, variando a fase de cada um, ou o argumento do número complexo. Contribuições de caminhos muito diferentes da trajetória clássica pode ser suprimida por interferência (ver abaixo).

Feynman mostrou que esta formulação da mecânica quântica é equivalente a aproximação canônica da mecânica quântica quando o Hamiltoniano possui, no máximo, termos quadráticos no momento. Uma amplitude calculada de acordo com o princípio de Feynman irá também obedecer a equação de Schrödinger para o Hamiltoniano correspondente à determinada ação.

A formulação de integral de caminho da teoria quântica de campos representa a amplitude de transição (correspondente a função correlação clássica) como uma soma ponderada de todos os possíveis histórias do sistema, de um estado inicial a um estado final. Um diagrama de Feynman é uma representação gráfica de uma contribuição perturbativa para a amplitude de transição.

Formulação concreta[editar | editar código-fonte]

Os postulados de Feynman são interpretados da seguinte maneira:

Definição da fração temporal (time-slicing)[editar | editar código-fonte]

Para uma partícula em um potencial suave, a integral de caminho é aproximada por caminhos em zig-zag, que, em uma dimensão, a integral de caminho é o produto de integrais ordinárias. Para o movimento de uma partícula que parte da posição x_a no tempo t_a e chega em x_b no tempo t_b, a sequência de tempo:

é dividida em (n + 1) segmentos de tempo (t_j − t_{j − 1)}, onde j = 1,...,n + 1, onde

${\displaystyle �=\mathrm{\Delta }�=\frac{{�}_{�}-{�}_{�}}{�+1}.}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

é uma duração de tempo fixo. Este processo é chamado de fração temporal (time-slicing).

Uma aproximação para a integral de caminho pode ser calculada como proporcional à

${\displaystyle \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\dots \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\exp \left(\frac{\mathrm{i}}{\hslash }\underset{{�}_{�}}{\overset{{�}_{�}}{\int }}�(�(�),�(�),�)\mathrm{d}�\right)�{�}_0\dots �{�}_{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle }$ é a Lagrangiana do sistema unidimensional com posição x(t), velocidade v = ẋ(t) e dx_j corresponde à posição no j-ésimo passo de tempo, quando a integral temporal é aproximada por uma soma de n termos.^{[note 1]}

No limite n → ∞, a integral torna-se um integral funcional, que, a menos de fatores não essenciais, é o produto das amplitudes das probabilidade ${\displaystyle }$ (as respectivas densidades desde que cada um seja representado em um espectro contínuo) para encontrar a partícula quântica  em t₀ no seu estado inicial x_a e em t_b no estado final x_b.

Na verdade, ${\displaystyle }$ é a Lagrangiana clássica do sistema unidimensional considerado, que obedece a relação:

${\displaystyle �(�,\dot{�},�)=�\cdot \dot{�}-�(�,�,�),}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde ${\displaystyle }$ é o Hamiltoniano, e:

${\displaystyle �=\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }\dot{�}}}$, e, acima mencionado, "zigue-zague" corresponde ao aparecimento dos termos:

${\displaystyle \exp \left(\frac{\mathrm{i}}{\hslash }�\sum _{�=1}^{�+1}�\left({\widetilde{�}}_{�},\frac{{�}_{�}-{�}_{�-1}}{�},�\right)\right)}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Na aproximação da soma Riemanniana a integral temporal, que é finalmente integrada de x₁ a x_n com a integração medida dx₁...dx_n, x_j é um valor arbitrário do intervalo correspondente ao j, ou seja, com seu centro entre (x_j + xj-1)/2.

Assim, em contraste com a mecânica clássica, não é apenas o caminho estacionário que contribui, na verdade, todos os caminhos virtuais entre o ponto inicial e o ponto final também contribuem.

Duração: 14 segundos.0:14

O diagrama mostra a contribuição para integral de caminho de uma partícula livre para um conjunto de caminhos.

A aproximação de fatias temporais de Feynman aproximação, contudo, não existe para o mais importante de mecânica quântica caminho integrais de átomos, devido à singularidade do potencial de Coulomb e²/r na origem. Somente depois de substituir o tempo t por outro caminho dependentes de pseudo-parâmetro de tempo de

${\displaystyle �=\int \frac{��}{�(�)}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

a singularidade é removido e a aproximação de fração temporal existe, que é exatamente integrável, uma vez que pode ser feita a partir de uma simples transformação de coordenadas, como foi descoberto em 1979 por Ismail Hakkı Duru e Hagen Kleinert.^[5][6] A combinação de um caminho dependentes do tempo, a transformação e a transformação de coordenadas é uma ferramenta importante para a resolução de muitos caminho integrais e é chamado genericamente de transformação Duru–Kleinert.

Partícula livre[editar | editar código-fonte]

A representação em integral de caminho a amplitude quântica para ir do ponto x ao ponto y como uma integral sobre todos os caminhos. Para uma partícula livre, a ação (por simplicidade considerando m = 1, ħ = 1):

${\displaystyle �=\int \frac{{\dot{�}}^2}{2}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

a integral pode ser avaliada de forma explícita.

Para fazer isso, é conveniente iniciar sem o factor i no exponencial, de forma que grandes desvios são suprimidas por pequenos números, não anulando  contribuições oscilatórias.

${\displaystyle �(�-�;�)={\int }_{�(0)=�}^{�(�)=�}\exp \left\{-{\int }_0^{�}\frac{{\dot{�}}^2}{2}��\right\}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Dividindo a integral em frações de tempo:

${\displaystyle �(�,�;�)={\int }_{�(0)=�}^{�(�)=�}{\mathrm{\Pi }}_{�}\exp \left\{-\frac{1}{2}{\left(\frac{�(�+�)-�(�)}{�}\right)}^2�\right\}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

onde Dx é interpretado como uma coleção finita de integrações em cada múltiplo inteiro de ε. Cada fator do produto é uma Gaussiana como uma função de x(t + ε) centrada em x(t) com variância de ε. As múltiplas integrais são convoluções repetidas desta Gaussiana G_ε com cópias de si próprio em tempos adjacentes.

${\displaystyle �(�-�;�)={�}_{�}\ast {�}_{�}...\ast {�}_{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Onde o número de circunvoluções é T/ε. O resultado é fácil calcular tomando a transformada de Fourier de ambos os lados, de modo que as convoluções tornam-se multiplicações.

${\displaystyle \widetilde{�}(�;�)={\widetilde{�}}_{�}(�{)}^{�/�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A transformada de Fourier da Gaussiana G é outra Gaussiana da variância recíproca:

${\displaystyle {\widetilde{�}}_{�}(�)={�}^{-�{�}^2/2}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e o resultado é:

${\displaystyle \widetilde{�}(�;�)={�}^{-�{�}^2/2}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A transformada de Fourier resulta em K, e é uma Gaussiana novamente com variância reciproca:

${\displaystyle �(�-�;�)\propto {�}^{-(�-�{)}^2/(2�)}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A constante de proporcionalidade não é determinado pela abordagem de fração temporal, mas a relação de valores para diferentes extremidade é determinado. A constante de proporcionalidade é escolhida de forma a garantir que  entre duas frações de tempo o operador de evolução temporal é unitária. Uma forma mais clara de fixar a normalização é considerar a integral de caminho como uma descrição de um processo estocástico.

O resultado tem uma interpretação probabilística. A soma sobre todos os caminhos do fator exponencial pode ser entendido como a soma da probabilidade da escolha de cada caminho. A probabilidade é o produto sobre cada segmento da probabilidade de escolher aquele segmento, de modo que cada probabilidade de cada segmento é independentemente de todos os outros. O fato de se obter uma Gaussiana espalhando de forma linear no tempo é resultado  do teorema do limite central, que pode ser interpretada como a primeira avaliação histórica da integral de caminho estatística.

A interpretação probabilística leva a uma escolha de normalização natural. A integral de caminho pode ser definido tal que: 

${\displaystyle \int �(�-�;�)��=1}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Esta condição normaliza o Gaussiana, e produz um Kernel que obedece a equação de difusão:

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�;�)=\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2}�}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Para integrais de caminho oscilatório, com um i (número imaginário) no numerador, a fração temporal produz convolved Gaussians, exatamente como antes. No entanto, agora o produto das convoluções é um pouco singular, pois requer cuidadosos limites para avaliar a integral oscilatoria. Para fazer a fatores bem definidos, a maneira mais fácil é adicionar uma pequena parte imaginária ao incremento de tempo ${\displaystyle }$. Isto está intimamente relacionado com a rotação de Wick. Então, o mesmo argumento da convolução resulta no propagador:

${\displaystyle �(�-�;�)\propto {�}^{�(�-�{)}^2/(2�)}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Que, com a mesma normalização de antes ( não a soma dos quadrados de normalização - esta função tem uma norma divergente) , obedece a uma equação de Schrödinger livre

${\displaystyle \frac{�}{��}�(�;�)=\mathrm{i}\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2}�}$

 Isto significa que qualquer superposição de K's irá, também, obedecer à mesma equação devido a linearidade. Definindo:

${\displaystyle {�}_{�}(�)=\int {�}_0(�)�(�-�;�)��=\int {�}_0(�){\int }_{�(0)=�}^{�(�)=�}{�}^{��}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

 ψ_t obedece a equação de Schrödinger da mesma forma que K:

${\displaystyle \mathrm{i}\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }�}{�}_{�}=-\frac{{\mathrm{\nabla }}^2}{2}{�}_{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Oscilador harmônico simples[editar | editar código-fonte]

A lagrangiana do oscilador harmônico simples é:${\displaystyle \mathcal{�}=\frac{1}{2}�{\dot{�}}^2-\frac{1}{2}�{�}^2{�}^2.}$ ${\displaystyle �(�)={�}_{�}(�)+��(�)}$ , a ação torna-se ${\displaystyle �={�}_{�}+��}$. A trajetória clássica pode ser escrito como:

${\displaystyle {�}_{�}(�)={�}_{�}\frac{\sin �({�}_{�}-�)}{\sin �({�}_{�}-{�}_{�})}+{�}_{�}\frac{\sin �(�-{�}_{�})}{\sin �({�}_{�}-{�}_{�})}.}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Esta trajetória obedece à ação clássica:

${\displaystyle {�}_{�}={\int }_{{�}_{�}}^{{�}_{�}}\mathcal{�}\mathrm{d}�={\int }_{{�}_{�}}^{{�}_{�}}\left(\frac{1}{2}�{\dot{�}}^2-\frac{1}{2}�{�}^2{�}^2\right)\mathrm{d}�=\frac{1}{2}��\left[\frac{({�}_{�}^2+{�}_{�}^2)\cos �({�}_{�}-{�}_{�})-2{�}_{�}{�}_{�}}{\sin �({�}_{�}-{�}_{�})}\right]}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= Em seguida, expande-se a contribuição não clássica em ${\displaystyle ��}$, como em uma série de Fourier, que resulta em:

${\displaystyle �={�}_{�}+\sum _{�=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2}{�}_{�}^2\frac{�}{2}\left[\frac{(��{)}^2}{{�}_{�}-{�}_{�}}-{�}^2({�}_{�}-{�}_{�})\right]}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

o que significa que o propagador é:

${\displaystyle �({�}_{�},{�}_{�};{�}_{�},{�}_{�})=�{�}^{�{�}_{�}/\hslash }\prod _{�=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{��}{\sqrt{2}}\int \mathrm{d}{�}_{�}\exp \left[\frac{�}{\hslash }\frac{1}{2}{�}_{�}^2\frac{�}{2}\left(\frac{(��{)}^2}{{�}_{�}-{�}_{�}}-{�}^2({�}_{�}-{�}_{�})\right)\right]={�}^{�{�}_{�}/\hslash }�\prod _{�=1}^{\mathrm{\infty }}{\left[1-{\left(\frac{�({�}_{�}-{�}_{�})}{��}\right)}^2\right]}^{-1/2}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

para alguns de normalização: ${\displaystyle �=\sqrt{\frac{�}{2��\hslash ({�}_{�}-{�}_{�})}}}$.v  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Usando a representação por produtória da função seno  ${\displaystyle \prod _{�=1}^{\mathrm{\infty }}\left(1-\frac{{�}^2}{{�}^2}\right)=\frac{\sin ��}{��}}$, o propagador pode ser escrita como

${\displaystyle �({�}_{�},{�}_{�};{�}_{�},{�}_{�})=�{�}^{�{�}_{�}/\hslash }\sqrt{\frac{�({�}_{�}-{�}_{�})}{\sin �({�}_{�}-{�}_{�})}}={�}^{�{�}_{�}/\hslash }\sqrt{\frac{��}{2��\hslash \sin �({�}_{�}-{�}_{�})}}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= Seja: ${\displaystyle �={�}_{�}-{�}_{�}}$. Podemos escrever o propagador em termos das energias dos auto-estados:

${\displaystyle �({�}_{�},{�}_{�};{�}_{�},{�}_{�})={\left(\frac{��}{2��\hslash \sin ��}\right)}^{1/2}\exp \left[\frac{�}{\hslash }\frac{1}{2}��\frac{({�}_{�}^2+{�}_{�}^2)\cos ��-2{�}_{�}{�}_{�}}{\sin ��}\right]=\sum _{�=0}^{\mathrm{\infty }}\exp \left(-\frac{�{�}_{�}�}{\hslash }\right){�}_{�}({�}_{�}{)}^{\ast }{�}_{�}({�}_{�}).}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= usando as identidades ${\displaystyle �\sin ��=\frac{{�}^{���}}{2}\left(1-{�}^{-2���}\right)}$ e ${\displaystyle \cos ��=\frac{{�}^{���}}{2}\left(1+{�}^{-2���}\right)}$,

${\displaystyle �({�}_{�},{�}_{�};{�}_{�},{�}_{�})={\left(\frac{��}{�\hslash }\right)}^{1/2}{�}^{-���/2}{\left(1-{�}^{-2���}\right)}^{-1/2}\exp \left[-\frac{��}{2\hslash }\left\{({�}_{�}^2+{�}_{�}^2)\frac{1+{�}^{-2���}}{1-{�}^{-2���}}-\frac{4{�}_{�}{�}_{�}{�}^{-���}}{1-{�}^{-2���}}\right\}\right]}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= Podemos absorver todos os termos após ${\displaystyle {�}^{-���/2}}$ em${\displaystyle �(�)}$,resultando em:

${\displaystyle �({�}_{�},{�}_{�};{�}_{�},{�}_{�})={\left(\frac{��}{�\hslash }\right)}^{1/2}{�}^{-���/2}\cdot �(�).}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Expandindo ${\displaystyle �(�)}$à potencias de ${\displaystyle {�}^{-���}}$. Todos os termos nessa expansão são multiplicados pelo fator ${\displaystyle {�}^{-���/2}}$ que resultam em termos da forma ${\displaystyle {�}^{-���/2}{�}^{-����}={�}^{-���(\frac{1}{2}+�)}}$ com${\displaystyle �=0,1,2,\dots }$. Comparando com a expansão do auto-valor, adquirimos o espectro de energia para oscilador harmônico simples,

${\displaystyle {�}_{�}=\left(�+\frac{1}{2}\right)\hslash �.}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A equação de Schrödinger[editar | editar código-fonte]

A integral de caminho reproduz a equação de Schrödinger para os estados iniciais e finais, mesmo quando um potencial está presente. Isso é fácil de ver tomando a integral de caminho sobre intervalos de tempos infinitesimalmente separados.

${\displaystyle �(�;�+�)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}�(�;�){\int }_{�(�)=�}^{�(�+�)=�}{�}^{\mathrm{i}{\int }_{�}^{�+�}(\frac{{\dot{�}}^2}{2}-�(�))��}��(�)��(1)}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Uma vez que  a fração de tempo é infinitesimal e as oscilações (que se cancelam) tornaram-se mais bruscas para grandes valores de ẋ, a integral de caminho passa a ser mais relevante para para y próximo de x. Neste caso, a ordem mais baixa da energia potencial é constante, e apenas a contribuição de energia cinética é não trivial. O termo da ação é:

${\displaystyle {�}^{-\mathrm{i}��(�)}{�}^{\mathrm{i}\frac{{\dot{�}}^2}{2}�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

O primeiro termo gira a fase de ψ(x) localmente por uma quantidade proporcional à energia potencial. O segundo termo é o propagador da partícula livre, correspondente a i vezes um processo de difusão.  Para a ordem mais baixa em ε os termos são aditivos.

${\displaystyle �(�;�+�)\approx \int �(�;�){�}^{-\mathrm{i}��(�)}{�}^{\frac{\mathrm{i}(�-�{)}^2}{2�}}��.}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Como mencionado, o espalhamento difusivo em ψ provem do propagador da partícula livre, com uma rotação infinitesimal na fase que varia lentamente de ponto a ponto do potencial. Além disso, tem-se que:

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}=\mathrm{i}\cdot \left[\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}^2-�(�)\right]�}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

que é a equação de Schrödinger. Observe que a normalização da integral de caminho precisa ser corrigido da mesma maneira como no caso da partícula. Um potencial arbitrário contínuo não afeta a normalização, embora potenciais singulares exigem um tratamento cuidadoso.

Equações do movimento[editar | editar código-fonte]

Uma vez que os estados obedecer a equação de Schrödinger, a integral de caminho deve reproduzir as equações de movimento de Heisenberg para as médias de x e ẋ, mas é mais instrutivo ver isso diretamente. A abordagem direta mostra que a valores esperados calculados a partir da integral de caminho integral reproduzem os valores esperados usuais da mecânica quântica.

Começando por considerar a integral de caminho integral em estado inicial fixo.

${\displaystyle \int {�}_0(�){\int }_{�(0)=�}{�}^{\mathrm{i}�(�,\dot{�})}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Note que que x(t) em cada tempo é uma variável de integração. Assim, é legítima a mudança de variáveis na integral : x(t) = u(t) +ε(t) onde ε(t) é uma deslocamento que pode ser diferente para cada valor de t, impondo condições nos extremos por ε(0) = ε(T) = 0, para que assim os pontos das extremidades não sejam incorporados a integral:

${\displaystyle \int {�}_0(�){\int }_{�(0)=�}{�}^{\mathrm{i}�(�+�,\dot{�}+\dot{�})}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A alteração na integral por deslocamentos é, em ordem infinitesimal na variável ε:

${\displaystyle \int {�}_0(�){\int }_{�(0)=�}\left(\int \frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}�+\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }\dot{�}}\dot{�}��\right){�}^{��}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

que, integrando por partes em t, obtém-se:

${\displaystyle \int {�}_0(�){\int }_{�(0)=�}-\left(\int \left(\frac{�}{��}\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }\dot{�}}-\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }�}\right)�(�)��\right){�}^{��}��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Mas isso foi apenas uma deslocamento nas variáveis de integração, o que não altera o valor da integral para qualquer escolha de ε(t). A conclusão é que a variações de primeira ordem é zero para um estado inicial arbitrário e em qualquer ponto arbitrário no tempo:

${\displaystyle ⟨{�}_0|\frac{��}{��}(�)|{�}_0⟩=0}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

que é a equação de movimento de Heisenberg.

Se a ação contém termos que multiplicam ẋ e x, para um mesmo tempo t, manipulações acima são apenas heurístico, pois as regras de multiplicação para essas quantidades não comutam (na formulação de integral de caminho) assim como é no formalismo de operadores.

Aproximação de fase estacionária[editar | editar código-fonte]

Se a variação da ação excede ħ por muitas ordens de magnitude, normalmente têm-se uma fase destrutiva fase de interferência outros do que na vizinhança desses trajetórias de satisfazer a equação de Euler–Lagrange, que agora é reinterpretado como a condição para a fase construtiva interferência. Isso pode ser mostrado usando o método da fase estacionária aplicada ao propagador. A medida que ħ diminui, a exponencial na integral oscila rapidamente no domínio complexo para qualquer alteração na ação. Assim, no limite de ħ  vai para zero, apenas os pontos onde a ação clássica não varia contribuem para o propagador.

Relações de comutação canônicas[editar | editar código-fonte]

A formulação da integral de caminho não deixa claro à primeira vista que as quantidades x e p não comutam. Na integral de caminho, x e p são apenas variáveis de integração não têm ordem obvia. Feynman descobriu que a não-comutatividade ainda estava presente.^[7]

Para ver isso, considere a integral de caminho simples, a caminhada aleatória do movimento browniano. Não estamos tratando de mecânica quântica, assim, na integral de caminho integral a ação não é multiplicado por i:

${\displaystyle �=\int {\left(\frac{��}{��}\right)}^2��}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

A quantidade x(t) é flutuante, e sua derivada é definido como o limite de uma diferença discreta.

${\displaystyle \frac{��}{��}=\frac{�(�+�)-�(�)}{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Observe que a distância que um a caminhada aleatória é proporcional a √t, de modo que:

${\displaystyle �(�+�)-�(�)\approx \sqrt{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Isso mostra que o movimento não é diferenciável, pois a relação que define a derivada diverge com probabilidade um.

A quantidade x ẋ é ambígua, com dois significados possíveis:

${\displaystyle [1]=�\frac{��}{��}=�(�)\frac{(�(�+�)-�(�))}{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

${\displaystyle }$

Em cálculo elementar, os dois são diferentes apenas por uma quantia que vai para zero à medida que ε vai para zero. Mas, neste caso, a diferença entre os dois não é igual a zero:

${\displaystyle [2]-[1]=\frac{(�(�+�)-�(�){)}^2}{�}\approx \frac{�}{�}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

definindo o valor da diferença para qualquer passeio aleatório por uma função f:

${\displaystyle \frac{(�(�+�)-�(�){)}^2}{�}=�(�)}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e notando que f(t) é uma quantidade estatística de alta flutuação, cujo valor médio é de 1, i.e. um "processo Gaussiano" normalizado. As flutuações de uma tal quantidade pode ser descrita por uma Lagrangeana estatística

${\displaystyle \mathcal{�}=(�(�)-1{)}^2,}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

Para obter e as equações de movimento de f derivados da extremização da ação S correspondente a ${\displaystyle \mathcal{�}}$

Definindo a ordem temporal como um operador de ordenação:

${\displaystyle [�,\dot{�}]=�\frac{��}{��}-\frac{��}{��}�=1}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

que é o chamado lema de Itō em cálculo estocástico, e de relações de comutação canônicas (euclidianas) em física.

Para uma ação estatística geral, um argumento similar mostra que

${\displaystyle \left[�,\frac{\mathrm{\partial }�}{\mathrm{\partial }\dot{�}}\right]=1}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .= 

e na mecânica quântica, a unidade imaginário multiplicativa na ação converte a relação anterior para a relação de comutação canônica:

${\displaystyle [�,�]=\mathrm{i}}$

  / G* =  = [          ] ω  , ,          .=